化简 (2x + 1)² − (2x − 1)²。

Step-by-step solution

1. 1

   走因式分解这条路，别硬展开。 两个平方之差总能分解：

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   这里两项本来就是平方，所以这个公式把一道看起来像二次式的题，变成了两次短减法加一次乘法。

2. 2

   定出两个底数。

   $A = 2x+1, \qquad B = 2x-1$

   它们都是 $x$ 的一次式且首项系数相同，这正是其中一个因式会塌缩成常数的原因。

3. 3

   算 A − B。 减号要分配到整个第二个括号上：

   $(2x+1) - (2x-1) = 2x + 1 - 2x + 1 = 2$

   $2x$ 项相消；如果忘了把 $-1$ 变号，就会得到 $0$，整个答案也就没了。

4. 4

   算 A + B 并相乘。

   $(2x+1) + (2x-1) = 4x$

   于是

   $(2x+1)^2 - (2x-1)^2 = 2 \cdot 4x = 8x$

5. 5

   用直接展开复核。 展开得

   $(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 - 4x + 1) = 8x$

   $4x^2$ 与 $+1$ 都抵消了，只剩下交叉项 —— 这就是结果必然是一次式的结构性原因。取 $x = 5$，两种形式都给出 $121 - 81 = 40 = 8 \cdot 5$。