解方程 −4.6173x² − 0.2906x + 20.029 = 0，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把负的二次项系数清掉。 方程两边同乘 $-1$ 不改变任何根，却去掉了最容易出错的那个符号：

   $-4.6173x^2-0.2906x+20.029=0\iff 4.6173x^2+0.2906x-20.029=0$

   现在 $a=4.6173$、$b=0.2906$、$c=-20.029$，求根公式里的分母 $2a$ 也是正的了。

2. 2

   算判别式。

   $\Delta=b^2-4ac=0.084448-4(4.6173)(-20.029)=0.084448+369.9196=370.00406$

   $\sqrt{\Delta}=19.23549$

   $c$ 为负就保证了 $-4ac>0$，所以还没往下算就已经确定：有两个符号相反的实根。

3. 3

   代入求根公式。

   $x=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{2(4.6173)}=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{9.2346}$

4. 4

   把两个根都算出来。

   $x_1=\frac{-0.2906-19.23549}{9.2346}=-2.11445,\qquad x_2=\frac{-0.2906+19.23549}{9.2346}=2.05151$

   二次项系数变正之后，取加号的那一支给出较大的根，与直觉一致。

5. 5

   用代入和韦达定理两法验证。 把 $x=2.05151$ 代回原式：$-4.6173(4.20869)-0.2906(2.05151)+20.029=-19.43278-0.5962+20.029\approx 0\;\checkmark$。韦达定理：两根之和应为 $-\tfrac{0.2906}{4.6173}=-0.06294$，而 $-2.11445+2.05151=-0.06294\;\checkmark$；两根之积应为 $\tfrac{-20.029}{4.6173}=-4.33782$，而 $(-2.11445)(2.05151)=-4.33782\;\checkmark$。