解分式方程 1/(x − 2) + 2/(x + 2) = 3/(x² − 4)，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   把右边的分母分解，并记下要排除的值。 因为 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，三个分母都是由同样的两个因式搭出来的，最简公分母就是 $(x-2)(x+2)$。$x=2$ 和 $x=-2$ 会让分母为零，所以它们永远不可能是解 —— 最后算出答案要拿这两个值核对一下。

2. 2

   把左边两个分式合并。 各自改写成公分母的形式：

   $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)+2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

3. 3

   化简分子。

   $(x+2)+2(x-2)=x+2+2x-4=3x-2$

   于是方程变成

   $\frac{3x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{3}{(x-2)(x+2)}$

4. 4

   让分子相等。 两边分母完全相同，而且对任何允许的 $x$ 都不为零，所以两个分式相等当且仅当分子相等：

   $3x-2=3\quad\Rightarrow\quad 3x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}$

5. 5

   拿排除值核对，再代回验算。 $\frac53\neq 2$，$\frac53\neq -2$，所以这个根是允许的。代回原方程：左边是 $\frac{1}{5/3-2}+\frac{2}{5/3+2}=-3+\frac{6}{11}=-\frac{27}{11}$，右边是 $\frac{3}{25/9-4}=\frac{3}{-11/9}=-\frac{27}{11}$。两边相等，所以 $x=\frac53$。