解方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先移项，再试有理根。 方程化为 $x^3 - 6x^2 + 11x - 7 = 0$，于是有理根的候选就是 $7$ 的各个因数：

   $f(1) = -1, \quad f(-1) = -25, \quad f(7) = 119, \quad f(-7) = -721$

   一个都不为零。注意常数项从 $-6$ 变成 $-7$ 之后，原来左边那个漂亮的因式分解就被破坏了 —— $x = 1$ 现在恰好差 $1$。

2. 2

   利用左边的结构。 出现的这个多项式正是三个相邻一次因式的经典乘积：

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

   所以方程其实就是 $(x-1)(x-2)(x-3) = 1$ —— 三个彼此相差整数的因式，乘积等于 $1$。

3. 3

   把换元的中心放在中间那个因式上。 令 $y = x - 2$，三个因式就变成 $y+1$、$y$、$y-1$：

   $(y+1)\,y\,(y-1) = y\left(y^2-1\right) = y^3 - y$

   $\Longrightarrow \quad y^3 - y = 1, \quad \text{即} \quad y^3 - y - 1 = 0$

   之所以要平移到这几个因式的对称中心，是因为这样能白捡一个好处：二次项自动消失，不必再做卡尔达诺那套降次代数。

4. 4

   数一数这个缺二次项的三次方程有几个实根。 对 $y^3 + py + q$，这里 $p = -1$、$q = -1$，判别式为

   $\Delta = -4p^3 - 27q^2 = 4 - 27 = -23 < 0$

   所以 $y^3 - y - 1 = 0$ 恰好有一个实根和一对共轭复根。这个实根就是所谓的塑料数 $\rho$。

5. 5

   把这个实根算出来。 卡尔达诺公式给出

   $\rho = \sqrt[3]{\frac12 + \sqrt{\frac{23}{108}}} + \sqrt[3]{\frac12 - \sqrt{\frac{23}{108}}} = 1.3247179572\ldots$

   对 $y^3 - y - 1$ 从 $y_0 = 1.3$ 出发用牛顿法迭代，在 39 位有效数字上得到同一个值，两条路子互相印证。

6. 6

   换回原变量并检验。 因为 $x = y + 2$，

   $x = 2 + \rho \approx 3.3247179572$

   代回原式：$(x-1)(x-2)(x-3) \approx (2.3247)(1.3247)(0.3247) = 1.0000$；在 40 位精度下计算 $x^3-6x^2+11x-6$ 得到 $0.99999999999999999999999999999999999999$。实数解只有这一个。