Algebra · real student question

某道菜第 1 天用了 105 毫升酱汁，第 2 天用了 85 毫升。从第 3 天起，每天的用量都是前两天用量的平均数。第 19 天用量的整数部分是多少？

Question

某道菜第 11 天用了 105105 mL 酱汁，第 22 天用了 8585 mL。从第 33 天起，每天的用量都是前两天用量的平均数：

a1=105,a2=85,an=an−1+an−22  (n≥3)a_1=105,\qquad a_2=85,\qquad a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}\ \ (n\ge3)

求 a19a_{19} 的整数部分。

Step-by-step solution

  1. 盯住相邻两项的差，而不是项本身。 递推式两边同时减去 an−1a_{n-1}：

    an−an−1=an−1+an−22−an−1=−an−1−an−22a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-a_{n-1}=-\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}

    可见每一个差恰好是前一个差的 −12-\tfrac12 倍。把两项的递推化成一项的等比递推，正是不用逐项列举也能算到第 1919 项的关键。

  2. 把这些差显式写出来。 第一个差是 a2−a1=−20a_2-a_1=-20，所以

    an−an−1=−20(−12)n−2a_{n}-a_{n-1}=-20\left(-\frac12\right)^{n-2}

    符号正负交替，正是各项来回摆动（105, 85, 95, 90, 92.5,…105,\ 85,\ 95,\ 90,\ 92.5,\dots）而不是朝一个方向走的原因。

  3. 对等比数列求和，得到极限。 把从 a1a_1 起的所有差都加起来：

    L=105+∑k=0∞(−20)(−12)k=105−201+12=105−403=2753L=105+\sum_{k=0}^{\infty}(-20)\left(-\frac12\right)^{k}=105-\frac{20}{1+\frac12}=105-\frac{40}{3}=\frac{275}{3}

    等价地写成 L=a1+2a23L=\dfrac{a_1+2a_2}{3}：这是把较新的一项按两倍权重计入的加权平均，因为 an−1+2ana_{n-1}+2a_n 在递推下始终不变。它不是 2a2−a12a_2-a_1。

  4. 写出通项公式。 由于与极限 LL 的偏差每走一步就乘以 −12-\tfrac12，

    an=L+(a1−L)(−12)n−1=2753+403(−12)n−1a_n=L+(a_1-L)\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\left(-\frac12\right)^{n-1}

    在 n=2n=2 处检验一下：2753−203=85\tfrac{275}{3}-\tfrac{20}{3}=85，正确。

  5. 代入 n=19n=19。 指数 1818 是偶数，所以修正项为正：

    a19=2753+403⋅1218=300373532768≈91.66672a_{19}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\cdot\frac{1}{2^{18}}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.66672

  6. 取整数部分。 因为 91<a19<9291<a_{19}<92，整数部分就是 9191。用分数精确地逐项迭代递推式，同样得到 a19=300373532768a_{19}=\tfrac{3003735}{32768}，验证了通项公式无误。

Answer

a19=300373532768≈91.6667,整数部分=91a_{19}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.6667,\quad \text{整数部分}=91

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