某道菜第 1 天用了 105 毫升酱汁，第 2 天用了 85 毫升。从第 3 天起，每天的用量都是前两天用量的平均数。第 19 天用量的整数部分是多少？

Step-by-step solution

1. 1

   盯住相邻两项的差，而不是项本身。 递推式两边同时减去 $a_{n-1}$：

   $a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}-a_{n-1}=-\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}$

   可见每一个差恰好是前一个差的 $-\tfrac12$ 倍。把两项的递推化成一项的等比递推，正是不用逐项列举也能算到第 $19$ 项的关键。

2. 2

   把这些差显式写出来。 第一个差是 $a_2-a_1=-20$，所以

   $a_{n}-a_{n-1}=-20\left(-\frac12\right)^{n-2}$

   符号正负交替，正是各项来回摆动（$105,\ 85,\ 95,\ 90,\ 92.5,\dots$）而不是朝一个方向走的原因。

3. 3

   对等比数列求和，得到极限。 把从 $a_1$ 起的所有差都加起来：

   $L=105+\sum_{k=0}^{\infty}(-20)\left(-\frac12\right)^{k}=105-\frac{20}{1+\frac12}=105-\frac{40}{3}=\frac{275}{3}$

   等价地写成 $L=\dfrac{a_1+2a_2}{3}$：这是把较新的一项按两倍权重计入的加权平均，因为 $a_{n-1}+2a_n$ 在递推下始终不变。它不是 $2a_2-a_1$。

4. 4

   写出通项公式。 由于与极限 $L$ 的偏差每走一步就乘以 $-\tfrac12$，

   $a_n=L+(a_1-L)\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\left(-\frac12\right)^{n-1}$

   在 $n=2$ 处检验一下：$\tfrac{275}{3}-\tfrac{20}{3}=85$，正确。

5. 5

   代入 $n=19$。 指数 $18$ 是偶数，所以修正项为正：

   $a_{19}=\frac{275}{3}+\frac{40}{3}\cdot\frac{1}{2^{18}}=\frac{3003735}{32768}\approx 91.66672$

6. 6

   取整数部分。 因为 $91<a_{19}<92$，整数部分就是 $91$。用分数精确地逐项迭代递推式，同样得到 $a_{19}=\tfrac{3003735}{32768}$，验证了通项公式无误。