求 7 + 2(5x + 2x²) = 16 的解，每个答案都写成最简根式。

Step-by-step solution

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   展开括号，把所有项归到一边。

   $7+10x+4x^{2}=16\quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+10x-9=0.$

   按降幂排列，系数 $a=4$、$b=10$、$c=-9$ 一眼就能读出来。

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   先试试能不能因式分解。 需要找两个整数，乘积为 $4\cdot(-9)=-36$、和为 $10$；最接近的两对是 $(-2,18)$ 和 $(12,-3)$，和分别是 $16$ 和 $9$。都不行，所以两个根是无理数，答案确实会是根式。

3. 3

   算判别式。

   $b^{2}-4ac=10^{2}-4(4)(-9)=100+144=244.$

4. 4

   先把根式化简再做除法。 $244=4\cdot 61$，而 $61$ 是质数，所以

   $\sqrt{244}=2\sqrt{61}.$

   正是这一步化简让最后的分数约得动；把 $\sqrt{244}$ 原样留着，答案虽对但没化到最简。

5. 5

   代入求根公式，约掉公因数 2。

   $x=\frac{-10\pm 2\sqrt{61}}{2\cdot 4}=\frac{2\left(-5\pm\sqrt{61}\right)}{8}=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{4}.$

6. 6

   用韦达定理和小数估值检验。 两根之和应为 $\tfrac{-10}{4}=-2.5$，之积应为 $\tfrac{-9}{4}=-2.25$。数值上 $\sqrt{61}=7.8102$，所以两根是 $0.70256$ 和 $-3.20256$；它们的和是 $-2.5$，积是 $-2.25$，都对。