解不等式 1/(2^x + 21) ≤ 3/(2^(x+2) − 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   先换元，把它变成分式不等式。 $x$ 每一次出现都在以 $2$ 为底的指数上，所以令 $t=2^x$，其中 $t>0$。又因为 $2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4t$，不等式就变成 $\frac{1}{t+21}\le\frac{3}{4t-1}$——一个关于 $t$ 的普通分式不等式。

2. 2

   把所有项移到一边，别去交叉相乘。 这里交叉相乘是不安全的：$4t-1$ 在 $t=\tfrac14$ 处变号，乘上一个负数会把不等号翻过来。正确写法是 $\frac{1}{t+21}-\frac{3}{4t-1}\le 0$，再通分合并：$\frac{(4t-1)-3(t+21)}{(t+21)(4t-1)}\le 0$。

3. 3

   化简分子。 $(4t-1)-3(t+21)=4t-1-3t-63=t-64$，于是不等式成为 $\frac{t-64}{(t+21)(4t-1)}\le 0$。

4. 4

   把永远不变号的因式扔掉。 因为 $t=2^x>0$，所以恒有 $t+21>21>0$。除以一个正数不改变不等号方向，剩下 $\frac{t-64}{4t-1}\le 0$。

5. 5

   对 $t$ 列符号表。 临界值是 $t=64$（分子为零）和 $t=\tfrac14$（分母为零，必须排除）。这个商恰好在两者之间取负，所以 $\tfrac14<t\le 64$；$t=64$ 能取到是因为不等号不严格，$t=\tfrac14$ 取不到则是因为分式在那里没有定义。

6. 6

   换回 $x$。 把边界写成 $2$ 的幂：$2^{-2}<2^x\le 2^6$。函数 $2^x$ 严格递增，所以指数之间保持同样的大小关系，于是 $-2<x\le 6$。

7. 7

   检验两个端点。 取 $x=6$：$\frac{1}{64+21}=\frac{1}{85}$，而 $\frac{3}{256-1}=\frac{3}{255}=\frac{1}{85}$，等号成立，所以 $x=6$ 属于解集。取 $x=-2$：$2^{x+2}-1=2^0-1=0$，右边无意义，所以 $x=-2$ 必须排除。