化简 (x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x + 1)³。

Step-by-step solution

1. 1

   先把重复出现的那一项合并。 第一项和最后一项都是 $(x+1)^3$ 的同类项：

   $(x+1)^3+2(x+1)^3=3(x+1)^3$

   于是式子变成

   $3(x+1)^3-2(x+1)^2(x-1)-(x+1)(x-1)^2$

   在展开之前先做这一步，能省掉三分之一的工作量。

2. 2

   提出公因式 $(x+1)$。 每一项里至少含有一个：

   $(x+1)\Big[3(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2\Big]$

3. 3

   只把方括号里的部分展开。 用 $(x+1)^2=x^2+2x+1$、$(x+1)(x-1)=x^2-1$、$(x-1)^2=x^2-2x+1$：

   $3\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=3x^2+6x+3-2x^2+2-x^2+2x-1$

   $x^2$ 项的系数是 $3-2-1=0$，所以方括号里只剩一次式：

   $8x+4$

4. 4

   乘回去，再因式分解。

   $(x+1)(8x+4)=8x^2+12x+4=4\left(2x^2+3x+1\right)=4(x+1)(2x+1)$

   三次项互相抵消才是这道题真正的内容：一堆三次乘积之和塌缩到了 $2$ 次。

5. 5

   在两个值上验证。 取 $x=0$：原式为 $1-2(1)(-1)-1(1)+2=1+2-1+2=4$，而 $4(1)(1)=4\;\checkmark$。取 $x=2$：原式为 $27-2(9)(1)-3(1)+54=27-18-3+54=60$，而 $4(3)(5)=60\;\checkmark$。