解方程 8x² = 16x。

Step-by-step solution

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   忍住「两边除以 $x$」的冲动。 那样一除会得到 $8x=16$，从而 $x=2$——但它丢掉了解 $x=0$，因为除以 $x$ 暗中假定了 $x\neq0$。除以一个可能为零的量从来都不安全，而因式分解是安全的。

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   把所有项移到一边。 两边同减 $16x$，使右边为零——这正是「乘积为零」性质所要求的形式：

   $8x^{2}-16x=0$

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   提出最大公因式。 两项都含 $8$ 和一个 $x$，所以最大公因式是 $8x$：

   $8x(x-2)=0$

   乘开验证一下：$8x\cdot x-8x\cdot2=8x^{2}-16x$ ✓。

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   用「乘积为零」的性质。 乘积为零，只可能是某个因式为零：

   $8x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\qquad x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2$

   常数 $8$ 永远不可能为零，所以它贡献不出根——出根的只有那个 $x$ 和 $(x-2)$。

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   把两个根代回原方程验证。 取 $x=0$：左边 $8(0)=0$，右边 $16(0)=0$ ✓。取 $x=2$：左边 $8(4)=32$，右边 $16(2)=32$ ✓。两个都通过，说明这里的二次方程确实凑齐了它应有的两个根。

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   记住这条一般结论。 任何没有常数项的二次方程 $ax^{2}+bx=0$，都能分解成 $x(ax+b)=0$，因此 $x=0$ 必然是它的一个根，另一个根在 $x=-b/a$。这里 $-(-16)/8=2$ ✓。