若 x1 与 x2 是 x^2 + 3x - 5 = 0 的两个根，求 x1 + x2 - x1·x2 的值。

Step-by-step solution

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   先认出这是一个关于两根的对称式。 $x_1 + x_2 - x_1x_2$ 只由两根之和与两根之积搭起来，所以韦达定理能直接给出答案——根本不必解这个二次方程，硬解还会把无理的根式一路拖进运算里。

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   写出韦达定理。 对 $ax^2 + bx + c = 0$ 有

   $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2 = \frac{c}{a}$

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   代入系数。 这里 $a = 1$，$b = 3$，$c = -5$：

   $x_1 + x_2 = -\frac{3}{1} = -3, \qquad x_1x_2 = \frac{-5}{1} = -5$

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   合并。

   $x_1 + x_2 - x_1x_2 = -3 - (-5) = -3 + 5 = 2$

   减去一个负的乘积，正是符号最容易出错的地方——一旦弄错，答案就成了 $-8$。

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   用真实的根验算。 判别式是 $9 + 20 = 29$，所以 $x_{1,2} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$，数值上是 $1.192582$ 和 $-4.192582$。它们的和是 $-3.000000$，积是 $-4.999998$，于是 $-3 + 5 = 2$，与预期一致。