求直线 y = -4x + 2.5 与曲线 y = 2.44x/(1 + 1.44x) 的交点。

Step-by-step solution

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   令两个 y 的表达式相等。 在交点处两个式子给出同一个 $y$，所以 $-4x+2.5 = \frac{2.44x}{1+1.44x}.$ 注意 $1+1.44x=0$ 处是极点，即 $x=-\tfrac{1}{1.44}=-0.6944\ldots$，任何答案里都必须把它排除掉。

2. 2

   去分母。 两边同乘 $1+1.44x$（在远离极点处这是合法的），得 $(-4x+2.5)(1+1.44x) = 2.44x$。把左边展开：$-4x-5.76x^2+2.5+3.6x = -5.76x^2-0.4x+2.5$。

3. 3

   整理成一元二次方程的标准形式。 把 $2.44x$ 移过去，得 $-5.76x^2-2.84x+2.5=0$；两边乘以 $-1$，再乘以 $100$ 并除以 $2$，就得到整系数形式 $288x^2+142x-125=0.$ 系数取整之后判别式才能算得精确。

4. 4

   解这个二次方程。 $\Delta = 142^2+4(288)(125) = 20164+144000 = 164164 = 4\cdot 41041$，所以 $x = \frac{-142 \pm 2\sqrt{41041}}{576} = \frac{-71 \pm \sqrt{41041}}{288}.$ 由 $\sqrt{41041}\approx 202.58578$ 得 $x_1 \approx 0.456895$，$x_2 \approx -0.949951$。两个都不等于 $-0.6944$，所以都通过了极点检验。

5. 5

   用直线求出对应的 y。 代直线的式子更省事：$y_1 = -4(0.456895)+2.5 \approx 0.672420$，$y_2 = -4(-0.949951)+2.5 \approx 6.299803$。

6. 6

   回代到曲线上验证，而不只是验证直线。 $\dfrac{2.44(0.456895)}{1+1.44(0.456895)} \approx 0.672420$，$\dfrac{2.44(-0.949951)}{1+1.44(-0.949951)} \approx 6.299803$——都对得上，说明这两个点确实同时在两条曲线上。第二个点位于双曲线较远的那一支上，在竖直渐近线的另一侧。