解方程 log₃(2x² + 13x + 23) ÷ log₃(x + 5) = 1，并求它所有根的和。

Step-by-step solution

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   先写定义域，因为分母里藏着两个不同的条件。 两个对数的真数都必须为正，而且分母不能为零：

   $x+5>0,\qquad \log_3(x+5)\neq 0\ \Rightarrow\ x+5\neq 1,\qquad 2x^2+13x+23>0.$

   前两个条件给出 $x>-5$ 且 $x\neq -4$。

2. 2

   单独看那个二次真数——结果发现它是白送的。 它的判别式是

   $D=13^2-4\cdot 2\cdot 23=169-184=-15<0,$

   而二次项系数为正，所以对任意实数 $x$ 都有 $2x^2+13x+23>0$。这个条件没有增加任何限制，定义域就只是 $x>-5$，$x\neq-4$。

3. 3

   认出这个对数之商其实就是换底公式。 因为 $\dfrac{\log_3 A}{\log_3 B}=\log_B A$，原方程等价于

   $\log_{x+5}\left(2x^2+13x+23\right)=1.$

   一个对数等于 $1$，当且仅当真数等于底数——所以我们可以直接把对数整个去掉，而不必两边取两次指数。

4. 4

   解由此得到的二次方程。 令真数等于底数：

   $2x^2+13x+23=x+5\ \Longrightarrow\ 2x^2+12x+18=0\ \Longrightarrow\ x^2+6x+9=0\ \Longrightarrow\ (x+3)^2=0,$

   所以 $x=-3$ 是这个二次方程的重根。

5. 5

   检验候选根，再把根加起来。 $x=-3$ 满足 $x>-5$ 且 $x\neq-4$，代回原式得 $\log_3 2/\log_3 2=1$，确实是真根。虽然二次方程里 $x=-3$ 出现了两次，但原方程恰好只有这一个根，所以根之和为

   $-3.$