已知 z⁴ + 2x²z² + 2y²z² − 8z = 0，把 z 表示为 x 和 y 的函数。

Step-by-step solution

1. 1

   提出公因式 $z$。 每一项都至少含一个 $z$：

   $z\left(z^{3}+2x^{2}z+2y^{2}z-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}+2\left(x^{2}+y^{2}\right)z-8\right)=0$

   所以 $z=0$ 是一支解，对任意 $(x,y)$ 都成立；剩下的工作全落在那个三次因式上。

2. 2

   引入极坐标半径，把结构显出来。 两个变量只通过 $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ 进入方程，所以这张曲面关于 $z$ 轴旋转对称，三次方程是

   $z^{3}+2r^{2}z-8=0$

   它已经是降次形式的三次式 $z^{3}+pz+q=0$（没有 $z^{2}$ 项），其中 $p=2r^{2}$、$q=-8$，正是卡尔达诺公式能直接处理的样子。

3. 3

   先看实根有几个。 判断三次方程根的情况要用的量是

   $\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=16+\frac{8r^{6}}{27}$

   它对任意 $r$ 都为正，因为两项都非负，而第一项是 $16$。这个量为正就意味着恰有一个实根、两个复根，所以非零那一支是单值的——不用分情况讨论。

4. 4

   套用卡尔达诺公式。 由 $-\dfrac{q}{2}=4$ 得

   $z=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8r^{6}}{27}}}$

   第二个立方根里的被开方数是负的（因为那个平方根大于 4），但对实立方根来说这完全没问题。

5. 5

   换回原来的变量写出答案。

   $f(x,y)=\sqrt[3]{4+\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{4-\sqrt{16+\frac{8\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}{27}}}$

6. 6

   在原点处做合理性检验。 当 $x=y=0$ 时三次方程是 $z^{3}=8$，给出 $z=2$；公式算得 $\sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{4-4}=2+0=2$ ✓。当 $r\to\infty$ 时两个立方根几乎相消，$z\to 0^{+}$，与三次方程给出的 $2r^{2}z\approx 8$ 即 $z\approx 4/r^{2}$ 相符 ✓。