解方程 x⁴ + x³ + x² + x = 4.66，求实数解。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清该找几个实根。 记 $g(x)=x(x+1)(x^2+1)$，因子 $x^2+1$ 永不为零，所以 $g<0$ 只发生在 $(-1,0)$ 上，而两个方向上都有 $g\to+\infty$。因此水平线 $y=4.66$ 与图像恰好交两次，只列出一个根的答案是不完整的。

2. 2

   框住正根。 $g(1)=4$，$g(1.1)=5.1051$，所以根落在 $(1,1.1)$ 里 —— 而且更靠近下端，因为 $4.66$ 离 $4$ 比离 $5.11$ 更近。

3. 3

   把正根逼精确。

   $x_1=1.0620313,\qquad g(x_1)=4.660000$

   有人报的 $1.06463$ 代进去得 $g=4.6894$，差了 $0.03$；这一点附近 $g'\approx 11$，对应的 $x$ 误差约为 $0.0026$。

4. 4

   框住负根。 $g(-1.7)=4.6291$（刚好低于目标值），$g(-1.75)=5.3320$（超过了），所以根在 $(-1.75,-1.7)$ 里。

5. 5

   把负根逼精确。

   $x_2=-1.7023038,\qquad g(x_2)=4.660000$

   $-1.72880$ 这个值虽然落在框内，但代进去得 $g=5.0256$，明显高于 $4.66$，所以它也不是根。

6. 6

   汇总答案。 两个实数解是 $x\approx 1.0620313$ 和 $x\approx -1.7023038$；这个四次方程的另外两个根是一对共轭复根。