一列火车原计划用 10 小时走完两座城市之间的路程。按计划速度行驶了前 9 小时后，速度降低了 7 km/h，结果晚到 6 分钟。求火车原来的速度。

Step-by-step solution

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   把速度设为未知数，再用它把路程表示出来。 设 $v$ 为原速度，单位 km/h。既然计划是以速度 $v$ 走 $10$ 小时，全程就是

   $S=10v$

   选 $v$ 而不是 $S$ 当未知数，是让整套代数保持一次的关键——路程会自己消掉。

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   把行程拆成两段。 前 $9$ 小时火车走了 $9v$ 公里，所以剩下的路程是

   $10v-9v=v\ \text{km}$

   这就是这样设未知数带来的漂亮结果：剩下那一段的公里数在数值上恰好等于速度。

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   把晚点写成方程。 剩下这一段以 $v-7$ km/h 行驶，用时 $\dfrac{v}{v-7}$ 小时。六分钟是 $\tfrac{6}{60}=\tfrac{1}{10}$ 小时，所以实际全程用了 $10+\tfrac1{10}=\tfrac{101}{10}$ 小时：

   $9+\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}$

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   解这个分式方程。 两边减去 $9$：

   $\frac{v}{v-7}=\frac{101}{10}-\frac{90}{10}=\frac{11}{10}$

   交叉相乘得 $10v=11(v-7)=11v-77$，所以 $v=77$ km/h。$v=7$ 这个增根要排除，因为它会让降速后的速度变成零。

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   回到题目情景验算。 路程 $=10\cdot77=770$ 公里。前 $9$ 小时走了 $693$ 公里，还剩 $77$ 公里，以 $77-7=70$ km/h 行驶需要 $77/70=1.1$ 小时 $=1$ 小时 $6$ 分钟。总共 $9+1.1=10.1$ 小时，也就是比计划的 $10$ 小时正好晚了 $6$ 分钟 ✓。