因式分解 a² − 4x² + 12x − 9。

Step-by-step solution

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   分组之前先数一数字母。 一共四项，但只有一项含 $a$，另外三项都只含 $x$。这种不对称正是提示：把三个含 $x$ 的项分到一组，看看它们能不能凑成眼熟的形状。

2. 2

   分组时把负号提出来。 从后三项提出 $-1$——括号里每一项的符号都要变号：

   $a^2-4x^2+12x-9=a^2-\left(4x^2-12x+9\right)$

   这里最常见的错误就是忘了给 $+12x$ 和 $-9$ 变号。

3. 3

   认出完全平方。 对 $4x^2-12x+9$，验算 $(2x)^2=4x^2$, $3^2=9$, and $2\cdot 2x\cdot 3=12x$，与中间项吻合，所以

   $4x^2-12x+9=(2x-3)^2$

   于是式子变成了 $a^2-(2x-3)^2$。

4. 4

   用平方差公式。 取 $A=a$，$B=2x-3$，由 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ 得

   $a^2-(2x-3)^2=\bigl(a-(2x-3)\bigr)\bigl(a+(2x-3)\bigr)$

5. 5

   去掉里层括号。 把符号分配进去：

   $(a-2x+3)(a+2x-3)$

   这两个因式在整数范围内都不能再分，所以分解到此为止。

6. 6

   展开验证。 $(a-2x+3)(a+2x-3)=a^2+a(2x-3)-a(2x-3)-(2x-3)^2=a^2-(4x^2-12x+9)=a^2-4x^2+12x-9$。$\checkmark$