解不等式 3/(x − 1) − 1 ≥ 2。

Step-by-step solution

1. 1

   先把定义域限制记下来。 分母 $x-1$ 不能为零，所以 $x \neq 1$。不管后面代数算出什么，这个值都不可能属于答案。

2. 2

   忍住不要交叉相乘。 两边同乘 $x-1$ 需要先知道它的符号，而 $x<1$ 时 $x-1$ 为负、$x>1$ 时为正。稳妥的路子是把所有项收到一边，只分析一个分式。

3. 3

   把所有项移到左边并合并。 两边加 $1$ 得 $\dfrac{3}{x-1} \ge 3$，于是 $\frac{3}{x-1}-3 \ge 0 \Longrightarrow \frac{3-3(x-1)}{x-1} \ge 0 \Longrightarrow \frac{6-3x}{x-1} \ge 0.$

4. 4

   提出负号，有意识地把不等号反向一次。 $6-3x = -3(x-2)$，两边除以常数 $-3$ 时不等号方向要翻转：$\frac{x-2}{x-1} \le 0.$ 现在它是两个一次因式之商，形式很干净。

5. 5

   围绕临界值 1 和 2 列符号表。 取 $x=0$：$\tfrac{-2}{-1}=2>0$，不符。取 $x=1.5$：$\tfrac{-0.5}{0.5}=-1<0$，符合。取 $x=3$：$\tfrac{1}{2}>0$，不符。所以只有中间那段成立。

6. 6

   判断两个端点。 $x=2$ 使分子为零，而 $\le 0$ 允许取零，所以 $x=2$ 要包含进来。$x=1$ 使分母为零，被定义域排除。于是 $1 < x \le 2, \qquad x \in (1,2].$ 检验：当 $x=2$ 时 $\tfrac{3}{1}-1=2$，恰好以等号满足 $\ge 2$。