解释为什么 f(x) = (x² − 4x + 3)/(x² − 9) 的定义域要排除 x = 3，即便 x − 3 可以约掉。

Step-by-step solution

1. 1

   判断定义域之前，先把上下都因式分解。

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   于是

   $f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

   因式 $x-3$ 在分子分母上同时出现——这恰恰是这道题让人犯迷糊的地方。

2. 2

   定义域由原始的分母决定，而不是约分之后的。 令它等于零：

   $x^2-9=0\quad\Longrightarrow\quad x=3 \text{ 或 } x=-3$

   把 $x=3$ 代进未经改动的原式，得到

   $f(3)=\frac{9-12+3}{9-9}=\frac{0}{0}$

   这不是一个数。除以零毫无意义：不存在 $y$ 使 $0\cdot y=$ 某个给定的非零数；而当分子也是 $0$ 时，任何 $y$ 又都成立，所以没法指定唯一的值。

3. 3

   约分改变的是表达式，而不是函数本身。 对每一个 $x\neq 3$ 都有

   $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$

   但除非你把 $x\neq 3$ 这个限制一并带上，否则这个化简后的式子就是另一个函数。化简表达式永远不会给定义域添上新的点——它只是在你原有的定义域上换一种写法。

4. 4

   给两个被排除的点分类——它们的性质并不一样。 在 $x=-3$ 处只有分母为零，所以 $|f(x)|\to\infty$：那是一条垂直渐近线。在 $x=3$ 处分子和分母同时为零，所以图像上是一个可去间断点——一个洞。它的高度就是约分后那个式子的极限：

   $\lim_{x\to 3}\frac{x-1}{x+3}=\frac{2}{6}=\frac13$

   数值上，$f(3.00001)\approx 0.333334$，说明图像不断逼近 $\tfrac13$ 却永远到不了。

5. 5

   写出定义域。

   $\operatorname{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\neq 3,\ x\neq -3\}=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)$

   点 $(3,\tfrac13)$ 在图上画成一个空心圆：曲线可以任意接近它，但 $x=3$ 并不在定义域里。