解不等式 (2/5)^x < √((4/25)^((3x + 2)/x))。

Step-by-step solution

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   先写出定义域。 指数 $\frac{3x+2}{x}$ 在 $x=0$ 处没有意义，所以 $x\ne 0$ 是自始至终都要带着的限制。其余部分对一切实数 $x$ 都有定义，因为正数的任意实数次幂都是正的。

2. 2

   把两边化成同底。 注意到 $\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2$，于是根号恰好把平方消掉：

   $\sqrt{\left(\frac{4}{25}\right)^{\frac{3x+2}{x}}}=\left[\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2\cdot\frac{3x+2}{x}}\right]^{1/2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

   不等式就变成了同底数幂之间纯粹的指数比较：

   $\left(\frac{2}{5}\right)^{x}<\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3x+2}{x}}$

3. 3

   因为底数小于 1，不等号要反向。 函数 $t\mapsto\left(\frac25\right)^t$ 是减函数，所以函数值更小对应的指数更大：

   $x>\frac{3x+2}{x}$

   忘记这一次反向，是分数底数的指数不等式里最常见的错误。

4. 4

   把所有项移到一边——千万不要两边乘 $x$。 两边同乘 $x$ 就必须按 $x$ 的正负分类讨论；作差要安全得多：

   $x-\frac{3x+2}{x}>0\;\Longleftrightarrow\;\frac{x^2-3x-2}{x}>0$

5. 5

   求出临界点并列符号表。 分子为零时 $x^2-3x-2=0$，即

   $x=\frac{3\pm\sqrt{9+8}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\approx-0.5616\ \text{和}\ 3.5616$

   再加上分母的零点，临界点按从小到大排列是 $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$、$0$、$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$。在这四个区间里各取一点检验，符号依次是 $-,\;+,\;-,\;+$。

6. 6

   写出解集并抽查验证。 商为正的范围是

   $x\in\left(\frac{3-\sqrt{17}}{2},\,0\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\,+\infty\right)$

   取 $x=-0.4$ 检验：左边 $0.4^{-0.4}\approx1.44$，右边 $0.4^{(3(-0.4)+2)/(-0.4)}=0.4^{-2}=6.25$——不等式成立。再取 $x=1$：$0.4<0.4^{5}=0.01$ 不成立，与符号表的预测一致。