描述并画出由不等式组 x² + y² ≤ 9 与 y ≤ x + 1 所确定的平面区域，并求出边界直线与圆的交点。

Step-by-step solution

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   把第一个不等式看成一个实心圆盘。 方程 $x^{2}+y^{2}=9$ 表示以原点为圆心、半径为 $\sqrt{9}=3$ 的圆。因为不等号是 $\leq$，区域是这个圆连同它的内部 —— 一个闭圆盘。圆要画成实线，表示边界包含在内。

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   把第二个不等式看成一个闭半平面。 边界 $y=x+1$ 是斜率为 $1$、过 $(0,1)$ 和 $(-1,0)$ 的直线。由于 $y\leq x+1$，我们保留直线下方那一侧；用原点检验，$0\leq 0+1$ 成立，所以含 $(0,0)$ 的那个半平面才是对的。这条直线也要画成实线。

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   求边界直线与圆的交点。 把 $y=x+1$ 代入 $x^{2}+y^{2}=9$：

   $x^{2}+(x+1)^{2}=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x+1=9\ \Longrightarrow\ 2x^{2}+2x-8=0\ \Longrightarrow\ x^{2}+x-4=0$

   由求根公式得

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$

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   换算成两个交点坐标。 把每个根代回 $y=x+1$：

   $\left(\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\ \frac{1+\sqrt{17}}{2}\right)\quad\text{和}\quad\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{1-\sqrt{17}}{2}\right)$

   它们的近似值约为 $(1.5616,\,2.5616)$ 和 $(-2.5616,\,-1.5616)$；把任意一个代入 $x^{2}+y^{2}$ 都精确得到 $9.0$，说明两点确实都在圆上。又因为判别式 $17>0$，这条直线是真正的割线，而不是切线。

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   描述最终得到的区域。 答案是这个闭圆盘中较大的那一块：半径为 $3$ 的圆内或圆上，且同时位于直线 $y=x+1$ 上或下方的所有点。连接两个交点的弦切下了直线上方那一小块弓形，而这块弓形是圆盘里唯一被排除的部分。两段边界 —— 圆弧和那条弦 —— 都属于该区域，因为两个不等式都是非严格的。