把 f(x) = (2x + 1)/(x⁴ − 5x² + 4) 的定义域用区间表示出来。

Step-by-step solution

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   先弄清楚唯一的限制在哪。 分子是多项式，处处有定义；函数只在分母为零的地方失效。所以问题就归结为解 $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$。

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   用换元解这个双二次方程。 式子里只出现偶次幂，所以令 $u = x^2$：

   $u^2 - 5u + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (u-1)(u-4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = 1 \text{ 或 } u = 4$

3. 3

   换回 x。 每个正的 $u$ 对应两个实的 $x$：

   $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1, \qquad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2$

   一共排除四个点——这已经是四次分母能产生的最多数量。

4. 4

   挖掉这四个点，写出区间。 在数轴上从小到大，排除的值是 $-2, -1, 1, 2$，它们把 $\mathbb{R}$ 切成五段：

   $(-\infty,-2) \cup (-2,-1) \cup (-1,1) \cup (1,2) \cup (2,\infty)$

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   每个区间取一点验算。 取 $x = -3$：分母 $81 - 45 + 4 = 40 \ne 0$。取 $x = -1.5$：$5.0625 - 11.25 + 4 = -2.1875$。取 $x = 0$：$4$。取 $x = 1.5$：$-2.1875$。取 $x = 3$：$40$。都不为零，确认这五个区间整个落在定义域内。