解方程 x³ + 12x² + 48x + 72 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先按完全立方的模式试一试。 系数 $1,12,48$ 与 $(x+b)^{3}=x^{3}+3bx^{2}+3b^{2}x+b^{3}$ 对得上：由 $3b=12$ 得 $b=4$，再验证 $3b^{2}=48$ ✓。唯一对不上的是常数项：

   $(x+4)^{3}=x^{3}+12x^{2}+48x+64,$

   而题目里是 $72$。看出这个「只差一点」正是整道题的关键——这个三次式不是完全立方，但它是完全立方再加上一个常数。

2. 2

   改写成平移后的立方。 由于 $72=64+8$，

   $x^{3}+12x^{2}+48x+72=(x+4)^{3}+8,$

   所以方程就是

   $(x+4)^{3}+8=0\;\Longrightarrow\;(x+4)^{3}=-8.$

   这一次改写就把三次方程变成了一步可解的形式。

3. 3

   取实立方根。 与平方根不同，负数的立方根是一个完全正常的实数，而且唯一：

   $x+4=\sqrt[3]{-8}=-2.$

   这里没有 $\pm$——函数 $t\mapsto t^{3}$ 在实数范围内严格递增，因此是一一对应的。

4. 4

   解出 $x$。 两边减去 $4$：

   $x=-2-4=-6.$

   这是唯一的实根；另外两个根是复数，来自立方和公式给出的分解 $(x+4)^{3}+2^{3}=(x+6)\left((x+4)^{2}-2(x+4)+4\right)$，其中二次因式 $x^{2}+6x+12$ 的判别式为 $36-48=-12<0$。

5. 5

   代回验算。 取 $x=-6$：

   $(-6)^{3}+12(36)+48(-6)+72=-216+432-288+72=0 ✓.$

   也可以从结构上检验：$(-6+4)^{3}+8=(-2)^{3}+8=-8+8=0$ ✓。