一只蜗牛从一棵树爬到另一棵树，每天都比前一天多爬同样多的距离。第一天与最后一天合起来共爬了 10 米，两棵树相距 150 米。这段路程一共用了多少天？

Step-by-step solution

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   先看清这是什么数列。 「每天多爬的距离相同」意味着每天爬的距离 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 构成一个等差数列。总路程就是这个数列的和，题目告诉我们它是 $150$ 米。

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   挑一个和已知条件对得上的求和公式。 常用的两个公式是

   $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\qquad\text{和}\qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$

   题目直接给了 $a_1+a_n=10$，所以用第一个公式，压根不需要知道 $a_1$ 或公差 $d$——这正是条件这么少却能解出来的原因。

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   代入。

   $150=\frac{10}{2}\cdot n=5n$

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   解出 n。

   $n=\frac{150}{5}=30$

   $\boxed{30\ \text{天}}$

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   举一个具体数列检验。 任何满足 $a_1+a_{30}=10$ 的等差数列都行——比如 $a_1=1$、$a_{30}=9$，此时 $d=\tfrac{9-1}{29}=\tfrac{8}{29}$。它的和是 $\tfrac{1+9}{2}\cdot 30=150$ 米 ✓。每天各爬多少并不能确定，但天数是确定的，因为求和公式只用到 $a_1+a_n$ 这一个组合。