展开并化简 (x + 1)(x² − x + 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   把二项式逐项分配到三项式上。 把 $(x+1)$ 拆成两项，各自乘以整个第二个因式：

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1\cdot(x^2-x+1)$

2. 2

   分别展开。

   $x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$

   $1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$

3. 3

   相加，看中间几项如何互相湮灭。

   $x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   $-x^2$ 与 $+x^2$ 抵消，$+x$ 与 $-x$ 也抵消。六项里有四项就此消失：

   $x^3+1$

4. 4

   弄清这种抵消为什么是必然的。 这正是立方和公式反过来读：

   $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$

   取 $a=x$、$b=1$，第二个因式就是 $x^2-x\cdot 1+1^2=x^2-x+1$，恰好是题目给的那个。$a^2-ab+b^2$ 里正负交替的符号，正是让交叉项抵消的关键 —— 这个因式不是 $(x^2+x+1)$，后者要配上 $(x-1)$ 才能得到 $x^3-1$。

5. 5

   代值验证。 取 $x=2$：原式是 $(3)(4-2+1)=3\cdot 3=9$，而 $x^3+1=8+1=9$。✓ 取 $x=-1$ 时两边都得 $0$，这与 $x=-1$ 是 $x^3+1$ 唯一的实根相符。