解不等式 (2x + 1)/(x − 4) < 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先弄清什么时候一个分式为负。 分式为负，恰好是它的分子与分母异号的时候。所以不要去交叉相乘 —— 那样做并不合法，因为 $x-4$ 会变号 —— 而要分别追踪每一部分的符号。

2. 2

   找出临界点。

   $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{分子为零}),\qquad x-4=0\Rightarrow x=4\quad(\text{分母为零})$

   分式只可能在这两个值处变号，它们把数轴分成 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$、$\left(-\tfrac12,4\right)$ 和 $(4,\infty)$。

3. 3

   每个区间取一点试算。 取 $x=-1$：$\dfrac{-1}{-5}=0.2>0$（分子分母都为负）。取 $x=0$：$\dfrac{1}{-4}=-0.25<0$（符号相反）。取 $x=5$：$\dfrac{11}{1}=11>0$（都为正）。只有中间那个区间是负的。

4. 4

   处理两个端点，它们被排除的理由并不相同。 在 $x=-\tfrac12$ 处分式等于 $0$，而不等号是严格的（是 $<0$，不是 $\le0$），所以 $0$ 不合格。在 $x=4$ 处分式根本没有定义。因此两端都取开区间。

5. 5

   写出解集。

   $-\frac12<x<4,\qquad\left(-\frac12,\ 4\right)$

   与许多分式不等式不同，这里两边的括号恰好都是开的 —— 但理由完全是两回事，这一点值得留意。

6. 6

   用精确运算验证。 在 $[-10,10]$ 上取 $12001$ 个有理点，用分数（而不是浮点数）计算分式并跳过 $x=4$，不等式恰好在 $\left(-\tfrac12,4\right)$ 内的点上成立，别处一个都不成立 ✓。