把 (1/2)x⁴y² + (1/3)x³y³ + (1/4)x²y⁴ 彻底分解因式。

Step-by-step solution

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   把字母和系数当作两件事分开处理。 求公因式时，字母部分取每个变量在各项中出现的最低次幂，系数部分则单独取能整除所有系数的那个最大的数。把两件事搅在一起，正是分数系数让人犯晕的根源。

2. 2

   字母部分取最低次幂。 $x$ 的指数是 $4,3,2$，最小的是 $x^2$；$y$ 的指数是 $2,3,4$，最小的是 $y^2$。所以公因式的字母部分是

   $x^2y^2$

3. 3

   用分母的最小公倍数定下那个分数系数。 三个系数是 $\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14$。因为 $\operatorname{lcm}(2,3,4)=12$，好用的公因数就是 $\tfrac{1}{12}$：每个系数除以 $\tfrac{1}{12}$ 相当于乘 $12$，而 $\tfrac{12}{2}=6$、$\tfrac{12}{3}=4$、$\tfrac{12}{4}=3$ 都是整数。没有更大的分数能同时清掉这三个分母，所以公因式是

   $\frac{1}{12}x^2y^2$

4. 4

   每一项都除以这个公因式。 除以 $\tfrac{1}{12}$ 就是乘 $12$，字母的指数则相减：

   $\frac{\tfrac12 x^4y^2}{\tfrac1{12}x^2y^2}=6x^2,\qquad \frac{\tfrac13 x^3y^3}{\tfrac1{12}x^2y^2}=4xy,\qquad \frac{\tfrac14 x^2y^4}{\tfrac1{12}x^2y^2}=3y^2$

5. 5

   写出分解式，再检验括号里还能不能继续分。

   $\frac{1}{12}x^2y^2\left(6x^2+4xy+3y^2\right)$

   把括号看成关于 $x$ 的二次式，判别式为 $(4y)^2-4(6)(3y^2)=16y^2-72y^2=-56y^2<0$（$y\neq 0$ 时），所以它在实数范围内不可约，分解已经彻底。

6. 6

   展开回去检验。 $\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 6x^2=\tfrac12x^4y^2$，$\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 4xy=\tfrac13x^3y^3$，$\tfrac1{12}x^2y^2\cdot 3y^2=\tfrac14x^2y^4$。原来的三项被一字不差地还原了。