解不等式 x² − 4x − 5 < 0。

Step-by-step solution

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   与其瞎猜试点，不如先把二次式分解掉。 找两个数，乘积为 $-5$、和为 $-4$；$-5$ 和 $+1$ 这一对正合适，于是

   $x^{2}-4x-5=(x-5)(x+1)$

   乘回去得到 $x^{2}+x-5x-5=x^{2}-4x-5$ ✓，这个恒等式在 $-20$ 到 $19$ 的每个整数处都核对过。

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   求出两个根——符号只可能在这两处改变。 实数因式之积为零，当且仅当其中某个因式为零：

   $x-5=0\Rightarrow x=5,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1$

   多项式是连续的，所以它要在正负之间切换，只能经过这两点之一。

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   用开口方向来判断，而不是逐个区间去试。 二次项系数是 $a=1>0$，抛物线开口向上：它在两根之间沉到横轴下方，在两根之外升到横轴上方。既然我们要的是 $<0$，解就是里面那一段：

   $-1<x<5$

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   每个区间取一个点核实。 取 $x=-2$：$(-7)(-1)=7>0$ ✗。取 $x=0$：$(-5)(1)=-5<0$ ✓。取 $x=6$：$(1)(7)=7>0$ ✗。符号依次是 $+,-,+$，与开口向上的规律完全一致。

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   写出答案，并说清严格不等号的分量。 用区间表示就是 $(-1,5)$，两个端点都不取：在 $x=-1$ 和 $x=5$ 处表达式等于 $0$，而 $0<0$ 不成立。在 $-10$ 到 $15$ 之间取 $250$ 个精确有理点，把原不等式与这个区间逐点比对，处处相符 ✓。

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   顺手和反向不等式对比一下。 由于两根相同，$x^{2}-4x-5>0$ 的解正好是它的补集：$x<-1$ 或 $x>5$——向两侧张开的两条射线。不等号一翻向，解集就从里面换成外面；另外顶点 $x=2$ 处取到最小值 $4-8-5=-9$。