分式 (2 − 3x)/(x(x − 1)) 为正。x 属于哪个集合？

Step-by-step solution

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   先列出所有变号点。 分式只在某个因式为零处变号。分子：$2-3x = 0$ 得 $x = \tfrac23$。分母：$x = 0$ 和 $x = 1$。所以一共三个点，按大小排列是 $0 < \tfrac23 < 1$。

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   注意这两类点的性质不同。 在 $x = \tfrac23$ 处分式等于 $0$，而 $0$ 不是正数，所以严格不等式要把 $\tfrac23$ 排除。在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处分式无意义，同样要排除。这里每个端点都是开的。

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   逐个检验四个区间。

   区间	取点 $x$	分子	分母	商
   $(-\infty,0)$	$-1$	$+5$	$(-1)(-2) = +2$	正
   $(0,\tfrac23)$	$0.5$	$+0.5$	$(0.5)(-0.5) = -0.25$	负
   $(\tfrac23,1)$	$0.8$	$-0.4$	$(0.8)(-0.2) = -0.16$	正
   $(1,\infty)$	$2$	$-4$	$(2)(1) = +2$	负

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   读出取正值的区间。 第一段和第三段上商为正：

   $x \in (-\infty,\,0) \cup \left(\tfrac23,\,1\right)$

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   想清楚符号为什么这样交替。 越过 $x = 0$ 或 $x = 1$ 时，分母里有一个一次因式变号；越过 $x = \tfrac23$ 时分子变号 —— 所以在这三个点上每次都变号，正好就是表中那个交替的规律。

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   用符号计算确认。 对 $\dfrac{2-3x}{x(x-1)} > 0$ 使用符号计算工具，返回的是 $(-\infty,0) \cup \left(\tfrac23,1\right)$ ✓，与手算的符号表一致。那个很诱人的错答案 $(-\infty,0) \cup (\tfrac23,\infty)$ 忘了分式在越过 $x = 1$ 之后又变回负值。