从 2·π·R·k·sin(α) − 2·π·a·k = m·g·tan(α) / (2·π) 中解出 k。

Step-by-step solution

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   注意到 $k$ 在左边两项中都出现了。 两边都不需要展开；整道题的关键就是一次提公因式。左边两项都含有公因式 $2\pi k$：$2\pi Rk\sin\alpha-2\pi ak=2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right).$ 把 $k$ 收进单独一个因式，正是能靠一次除法把它分离出来的原因。

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   把 $k$ 收好之后重写方程。 $2\pi k\left(R\sin\alpha-a\right)=\frac{mg\tan\alpha}{2\pi}$ 现在乘在 $k$ 上的东西全在一个括号里，其余的都在右边。

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   两边同除 $k$ 的整个系数。 两边同时除以 $2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)$，得到 $k=\frac{\dfrac{mg\tan\alpha}{2\pi}}{2\pi\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ 注意右边分母上原有的那个 $2\pi$ 不会跟新出现的这个相消 —— 再除一次 $2\pi$ 是让两个分母相乘。

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   化简这个繁分数。 把两个分母乘起来，$k=\frac{mg\tan\alpha}{4\pi^{2}\left(R\sin\alpha-a\right)}.$ 这个 $4\pi^{2}$ 是大家最容易写错的一步，常被写成 $2\pi$ 或 $2\pi^{2}$。

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   写出限制条件。 上面那次除法只在 $R\sin\alpha-a\neq 0$ 时成立，也就是 $\sin\alpha\neq a/R$。若 $R\sin\alpha=a$，左边恒等于零，那么除非 $mg\tan\alpha$ 也为零，方程关于 $k$ 无解；而当它也为零时，任何 $k$ 都成立。

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   代一组样本数据检验变形是否正确。 取 $R=2$、$a=0.5$、$\alpha=30^\circ$、$m=1$、$g=9.8$。公式给出 $k=\frac{9.8\times 0.577350269}{4\pi^{2}(2\times 0.5-0.5)}=0.286639282.$ 代回原式左边：$2\pi(2)(0.286639282)(0.5)-2\pi(0.5)(0.286639282)=0.900503863$，而右边是 $\dfrac{9.8\times 0.577350269}{2\pi}=0.900503863$。两者相符，说明代数变形没问题。