在 xy 平面上，一条抛物线的顶点是 (9, −14)，且与 x 轴交于两点。若它的方程写成 y = ax² + bx + c，则 a + b + c 可以取哪些值？

Step-by-step solution

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   先看清 a + b + c 到底是什么。 把 $x=1$ 代入 $y=ax^2+bx+c$ 得 $a(1)+b(1)+c=a+b+c$。也就是说

   $a+b+c=y(1),$

   即抛物线在 $x=1$ 处的高度。你根本不必分别求出 $b$ 和 $c$ —— 这个等式就是整道题的全部窍门。

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   把抛物线写成顶点式。 顶点为 $(9,-14)$，于是

   $y=a(x-9)^{2}-14.$

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   在 x = 1 处求值。

   $a+b+c=y(1)=a(1-9)^{2}-14=64a-14.$

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   由「与 x 轴有两个交点」定出 a 的符号。 顶点在 $y=-14$，落在 $x$ 轴下方。最低点在轴下方的抛物线，只有开口向上才可能与轴交于两点，所以

   $a>0.$

   （若 $a<0$，顶点就成了最高点，整条曲线都不高于 $y=-14$，永远碰不到 $x$ 轴。）

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   把对 a 的限制转成对这个和的限制。 由 $a>0$ 得

   $64a>0\quad\Longrightarrow\quad a+b+c=64a-14>-14.$

   所以任何严格大于 $-14$ 的数都能取到，而 $\le -14$ 的数一个也取不到。

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   用一条具体的抛物线确认。 取 $a=1$：$y=(x-9)^2-14=x^2-18x+67$，于是 $a+b+c=1-18+67=50=64(1)-14$ ✓。它的顶点是 $(9,-14)$，根为 $9\pm\sqrt{14}$ —— 正好两个 $x$ 轴交点，符合要求。若改取 $a=\tfrac{1}{64}$，则 $a+b+c=-13$，可见比 $-14$ 只大一点的值同样够得着。