解 x² − 3x − 10 ≥ 0 与 x² − 1 ≤ 0，并求同时满足两者的 x 的取值。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解第一个二次式。 积为 $-10$、和为 $-3$ 的两个数是 $-5$ 和 $+2$：

   $x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2)\ge 0$

   临界点是 $x=-2$ 和 $x=5$。

2. 2

   从抛物线读出第一个解集。 首项系数为正，所以这条开口向上的抛物线在两根之外才不低于横轴（试 $x=0$：$-10<0$，中间那段不满足）：

   $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$

   两个端点都要取到，因为不等号不是严格的。

3. 3

   把第二个二次式按平方差分解。

   $x^{2}-1=(x-1)(x+1)\le 0$

   临界点是 $x=-1$ 和 $x=1$。

4. 4

   读出第二个解集。 开口向上的抛物线在两根之间才不高于横轴（试 $x=0$：$-1\le 0$ ✓）：

   $[-1,1]$

5. 5

   把两个集合求交集。 把它们画在同一条数轴上：第二个集合整个落在 $(-2,5)$ 里，而这段区间恰恰是第一个集合排除掉的。严格地写，$[-1,1]\cap(-\infty,-2]=\varnothing$ 且 $[-1,1]\cap[5,\infty)=\varnothing$，所以

   $\left((-\infty,-2]\cup[5,\infty)\right)\cap[-1,1]=\varnothing$

6. 6

   把两部分答案都写出来。 分开看：$(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ 与 $[-1,1]$。合起来看：不存在任何实数 $x$ 同时满足两者 —— 这个不等式组是矛盾的。每当两个二次不等式被同时提出来时，这一点都值得先查一查。