解不等式 |x^2 − 5x + 6| + |x − 4| ≥ −x^2 + 5x + 7。

Step-by-step solution

1. 1

   先把绝对值内的二次式分解，找出全部分界点。 由 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ 可知它在 $x=2$ 与 $x=3$ 处变号；第二个绝对值在 $x=4$ 处变号。三个分界点把数轴分成四段：

   $(-\infty,2),\quad [2,3),\quad [3,4),\quad [4,\infty)$

   在每一段内两个绝对值都化成普通多项式，不等式随之变成一元二次不等式。

2. 2

   情形 $x<2$：二次式为正，一次式为负。 此时 $(x-2)(x-3)>0$ 且 $x-4<0$，所以左边是 $x^2-5x+6-(x-4)=x^2-6x+10$。不等式变为

   $x^2-6x+10\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-11x+3\ge 0$

   其根为 $x=\dfrac{11\pm\sqrt{97}}{4}$，约等于 $0.2878$ 和 $5.212$。开口向上的抛物线在两根外侧非负，与 $x<2$ 取交集后剩下

   $x\le\frac{11-\sqrt{97}}{4}$

3. 3

   情形 $2\le x<3$：绝对值内的二次式变号。 此时 $(x-2)(x-3)\le 0$，所以 $|x^2-5x+6|=-x^2+5x-6$，而 $|x-4|$ 仍为 $4-x$。不等式变为

   $-x^2+4x-2\ge -x^2+5x+7$

   两边的 $-x^2$ 相消，只剩下一次条件 $-9\ge x$。$[2,3)$ 中没有任何点满足 $x\le -9$，所以这一段无解。

4. 4

   情形 $3\le x<4$：二次式重新为正。 此时 $|x^2-5x+6|=x^2-5x+6$，$|x-4|=4-x$，得到与情形一相同的不等式 $2x^2-11x+3\ge 0$，其解集为 $x\le 0.2878$ 或 $x\ge 5.212$。两个区域都与 $[3,4)$ 不相交，所以这一段同样无解。

5. 5

   情形 $x\ge 4$：两个绝对值都直接去掉。 此时 $|x-4|=x-4$，于是

   $x^2-4x+2\ge -x^2+5x+7\ \Longrightarrow\ 2x^2-9x-5\ge 0$

   它恰好能分解：$2x^2-9x-5=(2x+1)(x-5)$，根为 $x=-\tfrac12$ 和 $x=5$。取两根外侧再与 $x\ge 4$ 求交集，得到

   $x\ge 5$

6. 6

   把有解的情形并起来，再抽查几点。

   $\left(-\infty,\ \frac{11-\sqrt{97}}{4}\right]\cup[5,\infty)$

   第一个端点的数值是 $0.28779$。检验：$x=0$ 时左边为 $6+4=10$、右边为 $7$，成立 ✓；$x=1$ 时得到 $2+3=5$ 对 $11$，不成立 ✓；$x=5$ 时两边都等于 $7$，端点包含在内 ✓；$x=6$ 时得到 $12+2=14$ 对 $1$ ✓。