展开并化简 (p − 1)(q − 1) + 1。

Step-by-step solution

1. 1

   先把乘积展开，再去管那个孤零零的项。 那个 $+1$ 待在括号外面，所以乘法没做完之前不能把它并进去。按运算顺序，乘法排在加法前面。

2. 2

   把两个二项式相乘。 第一个括号里的每一项都要与第二个括号里的每一项相遇——一共四个乘积：

   $(p-1)(q-1)=p\cdot q+p\cdot(-1)+(-1)\cdot q+(-1)(-1)=pq-p-q+1$

   末尾那个 $+1$ 来自 $(-1)(-1)$；负负得正。

3. 3

   注意这里没有可以合并的项。 $p$ 和 $q$ 是不同的字母，所以 $-p$ 与 $-q$ 不是同类项，既并不成 $-2p$，也并不成 $-pq$。展开式就是这四项，彼此不同。

4. 4

   再把括号外的 1 加上。

   $pq-p-q+1+1=pq-p-q+2$

   两个常数是相加而不是抵消，这是整道题里唯一真正需要留神的地方。

5. 5

   随机代入验证。 在 $[-8,8]$ 里随机取 $50$ 组 $(p,q)$，把原式与 $pq-p-q+2$ 逐点比较，每一点都在机器精度内一致 ✓。再抽查 $p=4,q=7$：$(3)(6)+1=19$，而 $28-4-7+2=19$ ✓。