化简 192π² / (128π + 32π²)。

Step-by-step solution

1. 1

   不要逐项去约。 分母是一个和，必须先因式分解才能约分；拿 $32\pi^{2}$ 去和分子的一部分对消是不合法的。所以第一件事是找出分母两项的最大公因式。

2. 2

   把分母因式分解。 $128=32\cdot 4$，而 $32\pi^{2}=32\pi\cdot\pi$，所以两项都含有 $32\pi$：$128\pi+32\pi^{2}=32\pi\left(4+\pi\right).$

3. 3

   把分子也分解出同一个因式。 $192=32\cdot 6$，因此 $192\pi^{2}=32\pi\cdot 6\pi.$ 这样写出来，公因式就摆在明面上，而不用靠脑补。

4. 4

   约掉公因式。 $\frac{32\pi\cdot 6\pi}{32\pi\left(4+\pi\right)}=\frac{6\pi}{4+\pi},$ 这一步成立是因为 $\pi\neq 0$。之后再没有可约的了：$6\pi$ 与 $4+\pi$ 没有公因式，因为 $4+\pi$ 并不是 $\pi$ 的倍数。

5. 5

   做数值核对。 取 $\pi=3.14159265$，原式是 $\dfrac{192(9.869604379)}{128(3.14159265)+32(9.869604379)}=\dfrac{1894.964041}{402.1238592+315.8273401}=\dfrac{1894.964041}{717.9511993}=2.639405$，而化简后的形式给出 $\dfrac{6(3.14159265)}{7.14159265}=\dfrac{18.8495559}{7.14159265}=2.639405$。两者在小数点后六位上一致。