若 5 log x − 4 log(x² + 1) + 5 log(x − 1) = log A，求 A。

Step-by-step solution

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   先把每个系数搬进真数里当指数。 幂的运算法则 $k\log M=\log\left(M^k\right)$ 对每一项都适用：

   $5\log x=\log\left(x^5\right),\qquad 5\log(x-1)=\log\left((x-1)^5\right),\qquad -4\log\left(x^2+1\right)=\log\left(\left(x^2+1\right)^{-4}\right)$

   系数永远是加在整个真数上的指数，所以写成 $(x^2+1)^{-4}$，绝不是 $x^{-8}+1$。

2. 2

   把相加的对数并成乘积。 由 $\log M+\log N=\log(MN)$，三项合成一项：

   $\log\left(x^5\left(x^2+1\right)^{-4}(x-1)^5\right)=\log A$

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   把负指数改写成分母。 因为 $M^{-4}=\dfrac{1}{M^{4}}$，被减掉的那个对数就变成了除法——这正是商的法则 $\log M-\log N=\log\frac MN$ 从另一头看过去的样子：

   $A=\frac{x^5(x-1)^5}{\left(x^2+1\right)^4}$

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   名正言顺地把对数消掉。 $\log$ 是一一对应的，所以只要两边都为正，$\log P=\log Q$ 就能推出 $P=Q$。这样就直接得到了 $A$，根本不用再去取指数。

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   补上定义域——合并这一步会悄悄把它放宽。 原来的左边要求 $x>0$ 且 $x-1>0$，也就是 $x>1$。而合并后的公式连 $x=0.5$ 都照单全收：那里 $A>0$，可 $\log(x-1)$ 根本没有定义。所以答案后面一定要一并写上 $x>1$。

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   取一个方便的值验算。 当 $x=2$ 时左边为 $5\log 2-4\log 5+5\log 1=1.50515-2.79588+0=-1.29073$。而公式给出 $A=\dfrac{32\cdot 1}{625}=0.0512$，且 $\log 0.0512=-1.29073$ ✓。