解方程 0 = 0.7x + 6.804e10 · x⁴ − 1210.23，求出所有实数 x。

Step-by-step solution

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   先化成标准形式，并估一下量级。 重新排列：

   $6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   首项系数大得离谱，所以 $x$ 还很小的时候，$x^{4}$ 项就已经能和常数项同一个量级了。这与首项系数极小的四次方程正好相反——后者的根会很大。

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   先扔掉一次项，拿一个初步估计。 只让两个主导项平衡：

   $6.804\times10^{10}x^{4}\approx1210.23\;\Longrightarrow\;x^{4}\approx1.7787\times10^{-8}\;\Longrightarrow\;|x|\approx0.0115485.$

   这里的忽略确实站得住脚：在这个 $x$ 处，一次项 $0.7x\approx0.0081$ 比 $1210.23$ 小了五个数量级。又因为 $x^{4}$ 是偶次的，这个估计立刻提示存在两个根，一个在 $+0.0115$ 附近，一个在 $-0.0115$ 附近。

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   确认确实有两次变号。 让 $f(x)=6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23$ 在 $[-1,1]$ 上扫一遍，恰好找到两次变号，分别在 $-0.011549$ 和 $+0.011548$ 附近。只报正根——最容易犯的漏答——就丢掉了一半答案。

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   对每个区间用二分法逼到满精度。 不断折半直到 $|f|<10^{-12}$：

   $x_{+}=0.0115484893,\qquad x_{-}=-0.0115485279.$

   两者几乎、但并不严格互为相反数：$0.7x$ 项轻微破坏了对称性，把负根推得离零稍远一点。有人给出的 $0.0115425$ 精度不够——在那里 $f\approx-2.51$，而不是 $0$。

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   代回验证。 在 $x=0.0115484893$ 处，四次项是 $1210.222$，一次项是 $0.008084$，两者合起来与 $1210.23$ 抵消到 $9\times10^{-6}$ 以内 ✓。在 $x=-0.0115485279$ 处四次项是 $1210.238$，一次项是 $-0.008084$，同样加起来为零 ✓。这个四次方程剩下的两个根是一对共轭复根。