用因式分解法解 (2x - 1)(2x - 1) - x · x = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把重复的乘积写成平方。 两个完全相同的因式、两个完全相同的 $x$，本来就是平方被展开着写：

   $(2x-1)(2x-1) - x \cdot x = (2x-1)^2 - x^2 = 0$

   看出这两个平方就是本题的全部诀窍；直接展开成 $3x^2 - 4x + 1$ 也能做，但那样就把结构丢掉了。

2. 2

   套上平方差的形式。 公式是

   $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

   这里 $a = 2x - 1$，$b = x$。注意 $a$ 本身是个二项式，这没关系：公式只在乎每一项是完全平方。

3. 3

   套用公式，并把每个括号化简。

   $(2x-1)^2 - x^2 = \big[(2x-1) - x\big]\big[(2x-1) + x\big]$

   $(2x-1) - x = x - 1, \qquad (2x-1) + x = 3x - 1$

   $\Longrightarrow \quad (x - 1)(3x - 1) = 0$

   再乘开回去得 $3x^2 - 4x + 1$，与直接展开原式的结果一致。

4. 4

   用「乘积为零」的性质。 乘积为零，当且仅当其中某个因式为零：

   $x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1$

   $3x - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{3}$

5. 5

   把两个根代回原式检验。 取 $x = 1$：$(2-1)^2 - 1^2 = 1 - 1 = 0$。取 $x = \tfrac13$：$\left(\tfrac23 - 1\right)^2 - \left(\tfrac13\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0$。两个都成立，所以解集是 $\left\{1, \tfrac13\right\}$。