把 x² − 2ax + x + a² − a − 2 完全因式分解。

Step-by-step solution

1. 1

   按 $x$ 的次数把各项归拢。

   $x^2+(1-2a)x+\left(a^2-a-2\right)$

   这是一个关于 $x$ 的二次式，系数里带着 $a$——所以分解出来应当是两个关于 $x$ 一次的括号之积。

2. 2

   看出里面藏着一个完全平方。 $x^2$、$-2ax$ 和 $a^2$ 这三块正好凑成 $(x-a)^2$。把它们剥出去之后还剩

   $x^2-2ax+a^2+x-a-2=(x-a)^2+(x-a)-2$

   因为余下的 $+x-a$ 本身就是 $(x-a)$。至此，$x$ 和 $a$ 的每一次出现都被收进了 $x-a$ 这一个组合里。

3. 3

   换元 $u=x-a$，分解这个普通的二次式。

   $u^2+u-2=(u-1)(u+2)$

   因为 $(-1)(2)=-2$ 且 $-1+2=1$。换元之后，参数已经彻底消失了。

4. 4

   把 $u=x-a$ 代回去。

   $(x-a-1)(x-a+2)$

5. 5

   用两条路交叉验证。 从系数入手：$a^2-a-2=(a-2)(a+1)$，而两个括号里的常数项 $-(a+1)$ 与 $2-a$ 之和是 $1-2a$ ✓，正好是一次项系数。数值上取 $x=1$、$a=2$：原式是 $1-4+1+4-2-2=-2$，而 $(1-2-1)(1-2+2)=(-2)(1)=-2$ ✓。