解方程 152.5 · 0.5 · (x/54.9) + 152.5 · (1 − x/54.9) = 100，求 x。

Step-by-step solution

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   先看清结构，再动手算。 分式 $\frac{x}{54.9}$ 是整体中处于半浓度的那一份所占的比例；$1-\frac{x}{54.9}$ 则是余下那份，浓度取满值 $152.5$。这正是同一个分式带着相反符号出现两次的原因——它使方程对唯一的未知量 $t=\frac{x}{54.9}$ 保持线性。

2. 2

   把常数乘积算掉，再展开。 先算 $152.5\cdot 0.5=76.25$。把第二项展开，

   $152.5\left(1-\frac{x}{54.9}\right)=152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}$

   于是方程写成

   $76.25\cdot\frac{x}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}=100$

3. 3

   合并两个 $\frac{x}{54.9}$ 项。 它们的系数相减：

   $76.25-152.5=-76.25$

   剩下

   $152.5-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=100$

   从满浓度降到目标值的落差，正好是满值的一半——这就是 $-76.25$ 的来处。

4. 4

   把分式孤立出来。 两边减去 $152.5$，再除以 $-76.25$：

   $-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=-52.5\quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{54.9}=\frac{52.5}{76.25}$

5. 5

   不要四舍五入，把这个比约成分数。 分子分母同乘 $100$，再同除 $125$：

   $\frac{52.5}{76.25}=\frac{5250}{7625}=\frac{42}{61}$

   这道题比看起来更漂亮的地方就在这里：$549=9\cdot 61$，所以

   $x=54.9\cdot\frac{42}{61}=\frac{549}{10}\cdot\frac{42}{61}=\frac{9\cdot 42}{10}=\frac{378}{10}$

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   写出精确答案并验算。 所以 $x=37.8$ 是精确值——这个小数是有限小数，不是四舍五入得来的。代回原式：

   $76.25\cdot\frac{37.8}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{37.8}{54.9}=152.5-76.25\cdot\frac{42}{61}=152.5-52.5=100\ \checkmark$