解方程 x − 1/x = 3。

Step-by-step solution

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   在同乘之前先记下定义域限制。 $\tfrac1x$ 这一项要求 $x\neq0$。现在就记下来是有意义的：两边同乘 $x$ 只有在 $x\neq0$ 时才可逆，而万一算出的根是 $0$，就必须当作增根舍去。

2. 2

   去掉分母。 每一项都乘 $x$：

   $x\cdot x-x\cdot\frac{1}{x}=3x\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}-1=3x$

   中间那一项恰好变成 $-1$，因为 $x\cdot\tfrac1x=1$。每一项都要乘，右边那个 $3$ 也不例外。

3. 3

   整理成一般式。 两边同减 $3x$：

   $x^{2}-3x-1=0$

   于是 $a=1$、$b=-3$、$c=-1$。

4. 4

   套用求根公式。

   $x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$

   判别式 $13$ 是正数但不是完全平方数，所以有两个互不相等的无理根，也就不存在整数范围内的因式分解。

5. 5

   检查两个根有没有被定义域排除。 数值上 $x\approx3.3028$、$x\approx-0.3028$，都不是 $0$，所以两个都通过了定义域这一关。把它们分别代入原方程 $x-\tfrac1x$，结果都是 $3$，误差在 $10^{-12}$ 以内 ✓——拿原方程而不是去分母后的方程来验算，才抓得住增根。

6. 6

   用韦达定理再确认一遍。 两根之和应为 $-b/a=3$：$\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}+\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}=3$ ✓。两根之积应为 $c/a=-1$：$\dfrac{9-13}{4}=-1$ ✓。积等于 $-1$ 还说明两根互为负倒数——这是方程 $x-\tfrac1x$ 这个形状带来的一个巧妙推论。