已知关于 x 的不等式组 x > m + 2 且 −2x − 1 ≥ 4m + 1 无解，且方程 x + m − 2 = 2 − x 有非负整数解，求满足条件的所有整数 m 之和。

Step-by-step solution

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   先把第二个不等式解成 x 的范围。 由 $-2x-1\ge 4m+1$ 得 $-2x\ge 4m+2$。两边同除以负数 $-2$，不等号要变向：$x\le -2m-1$。

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   把「无解」翻译成关于 m 的条件。 不等式组要求 $x>m+2$ 与 $x\le -2m-1$ 同时成立。这样的 $x$ 不存在，当且仅当上界没有严格落在下界之上，即 $-2m-1\le m+2$。整理得 $-3\le 3m$，所以 $m\ge -1$。

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   解那个一元一次方程。 由 $x+m-2=2-x$ 得 $2x=4-m$，所以 $x=\frac{4-m}{2}$。

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   对这个根提出「非负整数」的要求。 非负要求 $\frac{4-m}{2}\ge 0$，即 $m\le 4$；是整数则要求 $4-m$ 为偶数，所以 $m$ 必须是偶数。

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   三个条件取交集。 在整数范围内把 $m\ge -1$、$m\le 4$ 和 $m$ 为偶数合到一起，只剩 $m\in\{0,2,4\}$。

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   逐个回代检验。 $m=0$：不等式组要求 $x>2$ 且 $x\le -1$（确实无解），方程的根 $x=2$。$m=2$：$x>4$ 且 $x\le -5$（无解），根 $x=1$。$m=4$：$x>6$ 且 $x\le -9$（无解），根 $x=0$。三个都符合，故 $0+2+4=6$。