把 x² + 2x − 8y − 3xy − 4y² 完全分解因式。

Step-by-step solution

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   按总次数把各项归类。 有三项关于 $x$、$y$ 合起来是二次的，另外两项是一次的：

   $\underbrace{x^2-3xy-4y^2}_{\text{二次部分}}+\underbrace{2x-8y}_{\text{一次部分}}$

   这样分组是关键一步：如果整个式子能分解成两个括号，那么二次部分必然是这两个括号首项的乘积。

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   分解二次齐次部分。 把 $y$ 看成常数，当成关于 $x$ 的二次式来处理：需要两项，积为 $-4y^2$、和为 $-3y$，也就是 $-4y$ 与 $+y$：

   $x^2-3xy-4y^2=(x-4y)(x+y)$

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   分解一次部分，找共同的括号。

   $2x-8y=2(x-4y)$

   $(x-4y)$ 在两部分里都出现了——这正是整个式子能分解的信号，同时也告诉我们上一步得到的两个括号里，哪一个才是公共的。

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   把 $(x-4y)$ 提出来。

   $(x-4y)(x+y)+2(x-4y)=(x-4y)\bigl[(x+y)+2\bigr]=(x-4y)(x+y+2)$

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   展开回去并做数值检验。 展开得：$(x-4y)(x+y+2)=x^2+xy+2x-4xy-4y^2-8y=x^2-3xy+2x-4y^2-8y$，重新排列后正是原式 ✓。取 $x=3$、$y=1$：原式为 $9+6-8-9-4=-6$，而 $(3-4)(3+1+2)=(-1)(6)=-6$ ✓。