把 (2x − 1)/(x − 1)² 分解成部分分式。

Step-by-step solution

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   先按重因式选定待定形式。 分母是一次因式 $(x-1)$ 的 $2$ 次幂，所以分解式中从 $1$ 次到 $2$ 次的每一个幂次都要配上一项：

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}$

   若只写 $(x-1)^2$ 这一项，就只剩一个待定系数去配一个一次的分子，一般情况下是配不出来的。

2. 2

   去分母。 两边同乘 $(x-1)^2$：

   $2x-1=A(x-1)+B$

3. 3

   展开并按 $x$ 的幂次合并。

   $2x-1=Ax+(B-A)$

4. 4

   比较系数。 比较 $x$ 的系数得 $A=2$；比较常数项得 $B-A=-1$，于是

   $B=A-1=1$

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   再用赋值法交叉验证一次。 把 $x=1$ 代入 $2x-1=A(x-1)+B$，含 $A$ 的项立刻被消掉，直接得 $B=2(1)-1=1$ ✓ —— 这是对比较系数法的一次独立确认。

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   写出结果并做数值检验。

   $\frac{2x-1}{(x-1)^2}=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2},\qquad x\neq 1$

   取 $x=3$：左边 $=\tfrac{5}{4}=1.25$，右边 $=\tfrac{2}{2}+\tfrac{1}{4}=1.25$ ✓。取 $x=0.5$：左边 $=0$，右边 $=-4+4=0$ ✓。