曲线 C 过原点，C 上每一点的横坐标都大于 −1，且 C 上每一点到 F(1, 0) 的距离与到直线 x = a（a < 0）的距离之积都等于 1。求 a。

Step-by-step solution

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   先把两段距离用代数式写出来。 对点 $P(x,y)$，

   $|PF|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}},\qquad \operatorname{dist}(P,\ x=a)=|x-a|$

   曲线整个位于那条竖直线的右侧（它上面的点满足 $x>-1$，而 $a<0$），所以 $x-a>0$，绝对值可以去掉：

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x-a)=1$

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   用题目给出的那个具体点。 这个条件对 $C$ 上每一个点都成立，而题中真正点名的点只有原点。把 $x=0$、$y=0$ 代进去，就把一个“处处成立”的条件变成了关于 $a$ 的一个方程——这正是本题的关键思路。

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   代入原点。

   $\sqrt{(0-1)^{2}+0^{2}}\cdot(0-a)=1\quad\Longrightarrow\quad 1\cdot(-a)=1$

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   解出 a。

   $-a=1\quad\Longrightarrow\quad a=-1$

   这与题设条件 $a<0$ 相符 ✓。

   $\boxed{a=-1}$

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   回头检查那个符号假设。 当 $a=-1$ 时直线是 $x=-1$，而题目说 $C$ 上每一点都满足 $x>-1$，于是处处有 $x-a=x+1>0$，前面去掉绝对值是合法的 ✓。因此曲线的方程是

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x+1)=1$

   两边平方得 $(x+1)^{2}\left[(x-1)^{2}+y^{2}\right]=1$。

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   验证原点确实在这条曲线上。 在 $(0,0)$ 处：$(1)^{2}\left[1+0\right]=1$ ✓，可见推出来的方程确实经过 $O$，从而确认了 $a$ 的值。