函数 f(x) = |x| + 10 向左平移 8 个单位、向下平移 2 个单位，写出新函数。

Step-by-step solution

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   把两类平移分开看。 水平平移和竖直平移遵循的规则不一样，把它们搞混是最常见的错误：

   $\text{向右平移 } h \text{：} x\mapsto x-h\ \text{（在里面）},\qquad \text{向上平移 } k \text{：} +k\ \text{（在外面）}$

   在函数里面时，符号与移动方向相反；在外面时则一致。

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   先做水平平移。 向左移 $8$ 个单位就是 $h=-8$，于是 $x$ 要换成 $x-(-8)=x+8$：

   $|x|+10\ \longrightarrow\ |x+8|+10$

   里面写 $+8$ 却让图像往左跑，正是最反直觉的地方：顶点原本在 $x=0$，现在到了 $x=-8$。

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   再做竖直平移。 向下移 $2$ 个单位，就是给整个输出减去 $2$：

   $|x+8|+10-2=|x+8|+8$

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   盯住顶点来确认。 原来的顶点在 $(0,10)$。左移 $8$、下移 $2$ 之后应当落到 $(-8,8)$。从新解析式看，$|x+8|$ 在 $x=-8$ 处取最小值，此时函数值为 $0+8=8$——顶点正是 $(-8,8)$ ✓。

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   再验一个点。 原函数里 $f(0)=10$。点 $(0,10)$ 应当移到 $(-8,8)$，这一点刚才已经确认过；而原来的点 $(8,18)$ 应当移到 $(0,16)$。新函数算出 $|0+8|+8=16$ ✓。