分解因式 E = 4x²y³ + 4x³y² + a²x + a²y + 12x + 12y。

Step-by-step solution

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   要找的是重复出现的结构，而不是某个能通吃的公因式。 没有哪个因式能整除全部六项，所以分组才是趁手的工具。后四项已经很有提示性：$a^2x+a^2y$ 和 $12x+12y$ 里都含有 $x+y$。

2. 2

   先把容易的两对提出来。

   $a^2x+a^2y=a^2(x+y),\qquad 12x+12y=12(x+y)$

   三对中已经有两对共享二项式 $x+y$，所以剩下那一对必须也凑成同样的形状。

3. 3

   把第一对硬凑成同样的形状。 前两项都含 $4x^2y^2$：

   $4x^2y^3+4x^3y^2=4x^2y^2(y+x)=4x^2y^2(x+y)$

   这一步决定了整道题 —— 关键是看出提走 $4x^2y^2$ 之后，$y^3$ 和 $x^3$ 恰好各剩下 $y$ 和 $x$。

4. 4

   把公共的二项式提到括号外。 现在三组都带着 $x+y$：

   $E=(x+y)\left(4x^2y^2+a^2+12\right)$

5. 5

   代数值检验，并确认已经分解到底。 取 $x=1$、$y=2$、$a=3$：原式为 $4(1)(8)+4(1)(4)+9+18+12+24=32+16+63=111$，分解后的形式给出 $3\left(16+9+12\right)=3\cdot 37=111\;\checkmark$。第二个因式是若干非负项再加上 $12$，永远不为零，所以再分不出别的实因式。