解方程 0.097x² − 2.3289x + 12.4464133 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先认清系数，并预料到它对误差敏感。 这里 $a=0.097$、$b=-2.3289$、$c=12.4464133$。二次项系数很小，所以 $2a=0.194$ 也很小，最后那次除法会把前面每一点误差放大约五倍。这就使判别式的计算成为最关键的一步。

2. 2

   把 $b^{2}$ 和 $4ac$ 分开、仔细地算。

   $b^{2}=(-2.3289)^{2}=5.42377521$

   $4ac=4\times 0.097\times 12.4464133=4\times 1.2073020901=4.8292083604$

   先算 $ac$，再乘 4；三个数一口气乘完，正是丢数字的地方。

3. 3

   组出判别式。

   $D=5.42377521-4.8292083604=0.5945668496$

   它是正的但很小，所以两个根会靠得比较近。（若把 $4ac$ 手误写成 $4.8296083604$——只差一位数字——就会得到 $D=0.5941668496$，两个根都会偏移约 $0.0013$。）

4. 4

   开平方。

   $\sqrt{D}=\sqrt{0.5945668496}=0.7710816102$

5. 5

   代入求根公式。

   $x=\frac{2.3289\pm 0.7710816102}{0.194}$

   $x_{1}=\frac{3.0999816102}{0.194}=15.979287,\qquad x_{2}=\frac{1.5578183898}{0.194}=8.029992$

6. 6

   用韦达定理检验。 两根之和应为 $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2.3289}{0.097}=24.009278$，而实际上 $15.979287+8.029992=24.009279$ ✓。两根之积应为 $\dfrac{c}{a}=\dfrac{12.4464133}{0.097}=128.31354$，而 $15.979287\times 8.029992=128.31355$ ✓。两条独立的检验同时确认了这两个根。