函数 G 的斜率是 1/3，且经过点 (0, −1)。函数 H 经过点 (8, 3) 和 (10, 4)。Kelly 说 G 的初始值大于 H 的初始值。她说得对吗？

Step-by-step solution

1. 1

   先说清「初始值」指的是什么。 对一次函数来说，初始值就是输入取 $0$ 时的输出 —— 也就是 $y$ 轴截距。所以整道题问的其实只有一件事：两个函数在 $x=0$ 处的 $y$ 各是多少？

2. 2

   G 的初始值可以直接读出来。 题目说 $G$ 经过 $(0,-1)$，那里正好 $x=0$，所以

   $\text{G 的初始值}=-1.$

   它的斜率 $\tfrac13$ 在这次比较里根本用不上 —— 那是个干扰条件。

3. 3

   由 H 的两个点求出它的斜率。

   $m_H=\frac{4-3}{10-8}=\frac{1}{2}.$

4. 4

   把 H 回推到 x = 0。 从 $(8,3)$ 出发向左走 $8$ 个单位，$y$ 减少 $8\times\tfrac12=4$：

   $\text{H 的初始值}=3-4=-1.$

   等价地，设 $y=\tfrac12 x+b$，由 $3=\tfrac12(8)+b$ 解得 $b=-1$。

5. 5

   比较后作答。 两个初始值都等于 $-1$，所以它们是相等，而不是谁更大。Kelly 说错了。

6. 6

   用 H 的第二个点再验证一次。 方程 $y=\tfrac12 x-1$ 在 $x=10$ 处给出 $y=\tfrac12(10)-1=4$ ✓，与题目给的点吻合。所以截距 $-1$ 是对的：两个函数在 $y$ 轴上的交点完全相同，只是上升的快慢不一样。