展开并化简 (7x + 7)(x² + 4x − 7)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把乘法的路线规划好。 第一个括号里的 $2$ 项要各自乘遍第二个括号里的 $3$ 项，在合并之前一共会产生 $6$ 个乘积。这里用不上 FOIL——它只是两个二项式相乘时的口诀。

2. 2

   先用第一项 7x 去乘。

   $7x\left(x^2 + 4x - 7\right) = 7x^3 + 28x^2 - 49x$

3. 3

   再用第二项 7 去乘。

   $7\left(x^2 + 4x - 7\right) = 7x^2 + 28x - 49$

4. 4

   把两个结果相加，并合并同类项。

   $7x^3 + \left(28x^2 + 7x^2\right) + \left(-49x + 28x\right) - 49 = 7x^3 + 35x^2 - 21x - 49$

5. 5

   从因式结构上核对一遍。 因为 $7x + 7 = 7(x+1)$，答案必然能被 $7$ 整除——果然每个系数 $7, 35, -21, -49$ 都是 $7$ 的倍数，可以提成 $7\left(x^3 + 5x^2 - 3x - 7\right)$。这个结构性检查做起来很快，却足以发现漏项。

6. 6

   在 x = 2 处做数值验证。 原式是 $(14 + 7)(4 + 8 - 7) = 21 \times 5 = 105$；展开式给出 $56 + 140 - 42 - 49 = 105$。两者一致。