求直线 y = −4x + 2.5 与曲线 y = 3.34x/(1 + 2.34x) 的交点。

Step-by-step solution

1. 1

   令两个 $y$ 的表达式相等。 在交点处两个式子给出同样的纵坐标，所以

   $-4x+2.5=\frac{3.34x}{1+2.34x}.$

   同时记下限制条件 $x\ne-\frac{1}{2.34}\approx-0.4274$——分式曲线在那里有一条竖直渐近线，任何落在那里的根都必须舍去。

2. 2

   去分母。 两边同乘 $1+2.34x$：

   $(-4x+2.5)(1+2.34x)=3.34x.$

   把左边逐项展开：

   $-4x-9.36x^{2}+2.5+5.85x=-9.36x^{2}+1.85x+2.5.$

   交叉项分别是 $-4x\cdot2.34x=-9.36x^{2}$ 和 $2.5\cdot2.34x=5.85x$；把 $-4x+5.85x$ 合并就得到 $1.85x$。

3. 3

   整理成标准的二次方程。 把 $3.34x$ 移过去：

   $-9.36x^{2}+1.85x-3.34x+2.5=0\;\Longrightarrow\;-9.36x^{2}-1.49x+2.5=0,$

   再同乘 $-1$ 让二次项系数为正：

   $9.36x^{2}+1.49x-2.5=0.$

4. 4

   用求根公式。 取 $a=9.36$、$b=1.49$、$c=-2.5$：

   $\Delta=1.49^{2}-4(9.36)(-2.5)=2.2201+93.6=95.8201,\qquad\sqrt{\Delta}=9.788774,$

   $x=\frac{-1.49\pm9.788774}{18.72}\ \Longrightarrow\ x\approx0.4433106\ \text{或}\ x\approx-0.6024986.$

   两个根都不等于被排除的 $-0.4274$，所以都保留。

5. 5

   求出 $y$，并代回分式方程检验。 用直线方程 $y=-4x+2.5$：

   $x=0.4433106\Rightarrow y=0.726758,\qquad x=-0.6024986\Rightarrow y=4.909994.$

   再代进曲线方程看看：$\frac{3.34(0.4433106)}{1+2.34(0.4433106)}=0.726758$ ✓，$\frac{3.34(-0.6024986)}{1+2.34(-0.6024986)}=4.909994$ ✓。用另一个方程（而不是刚才求 $y$ 用的那个）来检验，这才算真正的验算。